條件分佈:要知道的 7 個有趣的事實

有條件分配

   當兩個隨機變量遵循滿足另一個條件的分佈時,討論條件分佈情況是非常有趣的,我們首先簡要了解一下隨機變量(離散和連續)情況下的條件分佈,然後在研究了一些先決條件之後,我們將重點放在有條件的期望。

離散條件分佈

     借助於聯合分佈中的聯合概率質量函數,我們以給定Y為條件下的X的條件概率作為概率質量函數的分佈,為離散隨機變量X和Y定義條件分佈

假設分母概率大於零,類似地,我們可以寫成

在聯合概率中,如果X和Y是獨立隨機變量,則將變為

因此,給定Y時,離散隨機變量X的離散條件分佈或條件分佈是具有上述概率質量函數的隨機變量,對於給定X的Y,我們可以定義類似的方式。

離散條件分佈示例

  1. 找到 隨機變量的概率質量函數 X 給定 Y=1,如果隨機變量 X 和 Y 的聯合概率質量函數具有以下值

p(0,0)= 0.4,p(0,1)= 0.2,p(1,0)= 0.1,p(1,1)= 0.3

現在首先對於Y = 1,我們有

所以使用概率質量函數的定義

我們有

  • 在給定X + Y = n的情況下獲得X的條件分佈,其中X和Y是參數為λ的泊松分佈1 和λ2 和X和Y是獨立隨機變量

由於隨機變量X和Y是獨立的,因此條件分佈的概率質量函數為

因為泊松隨機變量的總和又是泊松,所以

因此,具有上述概率質量函數的條件分佈將是此類Poisson分佈的條件分佈。 以上情況可以概括為兩個以上的隨機變量。

連續條件分配

   給定y的給定y的隨機變量X的連續條件分佈是具有概率密度函數的連續分佈

分母密度大於零,對於連續密度函數為

因此,這種條件密度函數的概率為

與離散方式類似,如果X和Y連續獨立,則

因此

所以我們可以寫成

連續條件分佈示例

  1. 如果具有開放區間(0,1)的聯合概率密度函數由下式給出,則計算給定Y的隨機變量X的條件密度函數

如果對於在(0,1)內給定Y的隨機變量X,則通過使用上述密度函數,我們得到

  • 計算條件概率

如果聯合概率密度函數由下式給出

首先要找到條件概率,我們需要條件密度函數,因此根據定義

現在在概率為 條件概率 is

二元正態分佈的條件分佈

  我們知道正態隨機變量X和Y的雙變量正態分佈具有各自的均值和方差作為參數具有聯合概率密度函數

有條件分配
條件 雙變量正態分佈 分配

因此,要找到給定Y的這種二元正態分佈的條件分佈,可以通過遵循連續隨機變量的條件密度函數和上述聯合密度函數來定義Y

有條件分配
二元正態分佈的條件分佈

通過觀察,我們可以說這是正態分佈的均值

和方差

以類似的方式,給定的X的Y的條件密度函數將只是將X的參數的位置與Y交換,

對於X的邊際密度函數,我們可以使用常量的值從上述條件密度函數中獲得

有條件分配
二元正態分佈的條件分佈

讓我們用積分代替

密度函數現在是

因為總價值

根據概率的定義,密度函數現在為

這不過是隨機變量X的密度函數,其均以均值和方差作為參數。

隨機變量函數的聯合概率分佈

  到目前為止,我們知道了兩個隨機變量的聯合概率分佈,現在,如果我們具有此類隨機變量的函數,那麼這些函數的聯合概率分佈將是什麼,如何計算密度和分佈函數,因為我們在現實生活中會遇到這樣的情況:具有隨機變量的功能

如果是1 和Y.2 是隨機變量X的函數1 和X.2 分別是共同連續的,那麼這兩個函數的聯合連續密度函數將是

哪裡 雅可比式

和Y.1 =g1 (X1, X2)和Y2 =g2 (X1, X2)對於某些功能g1 和g2 。 在這裡1 和g2 滿足雅可比行列式的條件,並且具有連續的偏導數。

現在,此類隨機變量函數的概率為

隨機變量函數的聯合概率分佈示例

  1. 找出隨機變量Y的聯合密度函數1 =X1 +X2 和Y.2=X1 -X2 ,其中X1 和X.2 是具有聯合概率密度函數的聯合連續函數。 還討論了分配的不同性質。

在這裡,我們首先將檢查雅可比

由於g1(x1, X2)= x1 +x2  和g2(x1, X2)= x1 - X2 so

簡化Y1 =X1 +X2 和Y.2=X1 -X2 ,對於X的值1 = 1/2(Y1 +Y2 )和X2 = Y.1 -Y2 ,

如果這些隨機變量是獨立的統一隨機變量

或者這些隨機變量是具有常規參數的獨立指數隨機變量

或者如果這些隨機變量是獨立的正常隨機變量,則

  • 如果X和Y是給定的獨立標準正態變量
有條件分配

計算各個極坐標的關節分佈。

我們將通過常規轉換將X和Y轉換為r和θ為

所以這些函數的偏導數將是

所以使用這個函數的雅可比矩陣是

如果隨機變量X和Y都大於零,則條件聯合密度函數為

現在使用以下方法將笛卡爾坐標轉換為極坐標

所以概率密度 功能 對於正值將是

對於不同的 組合 X 和 Y 的密度函數以類似的方式是

現在,根據上述密度的平均值,我們可以將密度函數表示為

和邊際密度的函數,由該極坐標的聯合密度在間隔(0,2π)上得出

  • 找到隨機變量函數的聯合密度函數

U = X + Y和V = X /(X + Y)

其中 X 和 Y 是 伽馬分佈 分別帶有參數 (α + λ) 和 (β +λ)。

使用定義 伽馬分佈 和聯合分佈函數,隨機變量 X 和 Y 的密度函數將是

考慮給定的功能為

g1 (x,y)= x + y,g2 (x,y)= x /(x + y),

所以這些功能的區別是

現在雅可比式是

在簡化給定方程後,變量x = uv和y = u(1-v)的概率密度函數為

我們可以使用關係

  • 計算的聯合概率密度函數

Y1 =X1 +X2+ X.3 ,Y2 =X1- X2 ,Y3 =X1 - X3

其中隨機變量 X1 , X2, X3 是標準 正態隨機變量.

現在讓我們使用的偏導數來計算雅可比行列式

Y1 =X1 +X2+ X.3 ,Y2 =X1- X2 ,Y3 =X1 - X3

as

簡化變量X1 , X2 和X.3

X1 =(是1 + 是2 + 是3)/ 3,X2 =(是1 – 2年2 + 是3)/ 3,X3 =(是1 + 是2 -2 是3)/ 3

我們可以將關節密度函數推廣為

所以我們有

對於正態變量,聯合概率密度函數為

於是

索引在哪裡

計算Y的聯合密度函數1 ……是n 和邊際密度函數n 哪裡

和X.i 是具有參數λ的獨立的均勻分佈的指數隨機變量。

形式的隨機變量

Y1 =X1 ,Y2 =X1 + X.2 ,......,Yn =X1 +……+ Xn

雅可比定律的形式

因此它的值為XNUMX,而指數隨機變量的聯合密度函數

和變量X的值i 的將是

所以關節密度函數是

現在找到Y的邊際密度函數n 我們將一一整合

同樣地

如果我們繼續這個過程,我們將得到

這是邊際密度函數。

結論:

條件分佈 對於離散和連續隨機變量,考慮到討論的這些隨機變量的一些類型,其中獨立隨機變量起著重要作用。 此外,聯合 聯合連續隨機變量函數的分佈 還通過合適的示例進行了解釋,如果您需要進一步閱讀,請通過以下鏈接。

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