Hermite 多項式：9 個完整的小知識

  Hermite 多項式作為正交函數在應用中廣泛出現。 Hermite多項式是Hermite微分方程的級數解。

埃爾米特方程

    具有特定係數的二階微分方程為

d²y/dx² – 2x dy/dx + 2xy = 0

被稱為 Hermite 方程，通過求解這個微分方程，我們將得到多項式，它是 厄米多項式.

讓我們找到方程的解

d²y/dx² – 2x dy/dx + 2ny = 0

借助微分方程的級數解

現在將所有這些值代入 Hermite 方程，我們有

這個方程滿足 k=0 的值，並且因為我們假設 k 的值不會為負，現在對於最低階項 x^M-2 在第一個方程中取 k=0 因為第二個給出負值，所以係數 x^M-2 is

a₀m (m-1)=0 ⇒ m=0,m=1

作為一個₀ ≠0

現在以同樣的方式等於 x 的係數^M-1 從第二個總和

並等於 x 的係數^m+k 歸零，

a_{k + 2}(m+k+2)(m+k+1)-2a_k(m+kn) = 0

我們可以把它寫成

a_{k + 2} = 2(m+kn)/(m+k+2)(m+k+1)_k

如果 m=0

a_{k + 2} = 2(kn)/(k+2)(k+1)_k

如果 m=1

a_{k + 2} = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2)_k

對於這兩種情況，現在我們討論 k 的情況

當 $m=0 時，a_{k + 2}= 2(kn)/ (k+2)(k+1)}_k$

如果，$k=0₂ =-2 n/2 一個₀=-na₀$

$k=1, 一個₃=2(1-n)/6a₁ =-2(n-1)/3 ！ 一個₁$

如果$k=2，一個₄ =2(2-n)/12a₂ =2 (2-n)/12 (-na₀）= 2² n(n-2)/4！ 一個₀$

到目前為止 m=0 我們有兩個條件，當 a₁=0，那麼一個₃=a₅=a₇=....=一個_2r+1=0 並且當 a₁ 那麼不為零

按照這個把 a 的值₀,a₁,a₂,a₃,a₄ 和₅ 我們有

並且對於 m=1 a₁=0 通過將 k=0,1,2,3,..... 我們得到

a_{k + 2} = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2)a_k

所以解決方案將是

所以完整的解決方案是

其中 A 和 B 是任意常數

厄米多項式

   Hermite 方程解的形式為 y(x)=Ay₁(x)+通過₂(x) 其中 y₁(x) 和 y₂(x) 是上面討論的級數項，

如果 n 是非負整數，則這些系列之一結束，如果 n 是偶數 y₁ 否則終止 y₂ 如果 n 是奇數，我們可以很容易地驗證對於 n=0,1,2,3,4…….. 這些多項式是

1,x,1-2x², x-2/3 x³, 1-4 倍²+4/3x⁴, x-4/3x³+ 4/15 倍⁵

所以我們可以在這裡說 Hermite 方程的解是這些多項式的常數倍，並且包含 x 的最高冪的項的形式為 2ⁿxⁿ 用H表示_n(x) 被稱為 厄米多項式

Hermite多項式的生成函數

Hermite多項式通常藉助生成函數的關係來定義

[n/2] 是小於或等於 n/2 的最大整數，因此它遵循 H_n（X） as

這表明 H_n（X） 是 x 上的 n 次多項式，並且

H_n(x) = 2ⁿxⁿ + π_n-2 （X）

哪裡 π_n-2 (x) 是 x 中 n-2 次多項式，對於 n 的偶值，它將是 x 的偶函數，對於 n 的奇值，它將是 x 的奇函數，所以

H_n(-x) = (-1)ⁿ H_n（X）

一些起始 Hermite 多項式是

H₀(x) = 1

H₁(x) = 2x

H₂(x) = 4x² - 2

H₃(x) = 8x³-12

H₄(x) = 16x⁴ -48倍²+ 12

H₅(x) = 32x² -160倍³+ 120x

用羅德里格公式生成 Hermite 多項式的函數

Hermite多項式也可以在羅德里格公式的幫助下使用生成函數來定義

由於生成函數的關係

  使用麥克勞林定理，我們有

or

通過把 z=xt 和

對於 t=0，所以 z=x 給出

這我們可以用另一種方​​式表示為

差異化

關於 t 給出

取極限 t 趨於零

現在關於 x 微分

取極限 t 趨於零

從這兩個表達式我們可以寫出

以同樣的方式我們可以寫

 將 t=0 微分 n 次，我們得到

從這些值我們可以寫

從這些我們可以得到值

Hermite多項式的例子           

1. 求普通多項式

解決方案：使用 Hermite 多項式定義和我們有的關係

2.求普通多項式的Hermite多項式

解決方案：我們可以將給定的方程轉換為 Hermite 作為

並且從這個方程等於相同的冪係數

因此 Hermite 多項式將是

Hermite多項式的正交性| Hermite多項式的正交性質

Hermite 多項式的重要特徵是它的正交性，即

為了證明這種正交性，讓我們回憶一下

這是 Hermite 多項式的生成函數，我們知道

所以將這兩個方程相乘我們將得到

在無限範圍內進行乘法和積分

從那以後

so

在上面的表達式中使用這個值我們有

這使

現在使兩邊的係數相等

顯示了 Hermite 多項式的正交性質。

  Hermite多項式的正交性質的結果可以通過考慮遞推關係以另一種方式表示

Hermite多項式正交性的例子

1.求積分

解：利用厄米多項式的正交性

因為這裡的值是 m=3 和 n=2 所以

2. 評估積分

解：利用 Hermite 多項式的正交性，我們可以寫出

Hermite多項式的遞歸關係

Hermite多項式的值可以很容易地通過遞推關係找出

借助定義和屬性，可以輕鬆獲得這些關係。

證明：1。 我們知道 Hermite 方程

y”-2xy'+2ny = 0

和關係

通過對 x 進行部分微分，我們可以將其寫為

從這兩個方程

現在用 n-1 替換 n

通過等於 t 的係數ⁿ

所以所需的結果是

2. 以類似的方式對 t 等式進行部分微分

我們得到

n=0 將消失，所以通過把 e 的這個值

現在等於 t 的係數ⁿ

從而

3. 為了證明這個結果，我們將消除 H_n-1

及

所以我們得到

這樣我們就可以寫出結果

4. 為了證明這個結果，我們微分

我們得到了關係

替換值

並用 n+1 替換 n

這使

Hermite多項式的遞歸關係實例

1.表明

H_2n(0) = (-1)ⁿ。 2²ⁿ （1 / 2）ⁿ

解決方案：

為了顯示我們有的結果

H2n(x) =

在這裡取 x=0 我們得到

2. 證明

H'_{2n + 1}(0) = (-1)ⁿ 2^{2n + 1} （3 / 2）²

解決方案：

由於從遞推關係

H'_n(x) = 2nH_n-1（X）

這裡用 2n+1 替換 n 所以

H'_2n-1(x) = 2(2n+1) H_2n（X）

取 x=0

3. 求值

H_{2n + 1}（0）

解決方案

既然我們知道

在這裡使用 x=0

H_2n-1（0）= 0

4. 求H'的值_2n（0）。

解決方案 :

我們有遞歸關係

H'_n(x) = 2nH_n-1（X）

這裡用 2n 替換 n

H'_2n(x) = =2(2n)H_2n-1（X）

把 x=0

H'_2n(0) = (4n)H_2n-1(0) = 4n*0=0

5.顯示如下結果

解決方案 :

使用遞推關係

H'_n(x) = 2nH_n-1 （X）

so

及

d³/dx³ {H_n(x)} = 2³n(n-1)(n-2)H_n-3（X）

微分這 m 次

這使

6. 證明

H_n(-x) = (-1)ⁿ H_n（X）

解決方案 :

我們可以寫

從 t 的係數ⁿ 我們有

對於 -x

7. 計算積分並顯示

解決方案 ：為了解決這個積分使用積分部分作為

現在積分符號下的微分與

關於 x

運用

H'_n(x) = 2_nH_n-1 （X）

及

H'_m(x) = 2mH_M-1 （X）

我們有

從那以後

𝝳 _n,m-1 =𝝳_{n+1, 米}

所以積分的價值將是

結論：

應用中經常出現的具體多項式是Hermite多項式，所以這裡簡單討論了Hermite多項式的基本定義、生成函數、遞推關係和例子，如果你需要進一步閱讀，請繼續閱讀

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials

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