Hermite 多項式:9 個完整的小知識

  Hermite 多項式作為正交函數在應用中廣泛出現。 Hermite多項式是Hermite微分方程的級數解。

埃爾米特方程

    具有特定係數的二階微分方程為

d2y/dx2 – 2x dy/dx + 2xy = 0

被稱為 Hermite 方程,通過求解這個微分方程,我們將得到多項式,它是 厄米多項式.

讓我們找到方程的解

d2y/dx2 – 2x dy/dx + 2ny = 0

借助微分方程的級數解

現在將所有這些值代入 Hermite 方程,我們有

這個方程滿足 k=0 的值,並且因為我們假設 k 的值不會為負,現在對於最低階項 xM-2 在第一個方程中取 k=0 因為第二個給出負值,所以係數 xM-2 is

a0m (m-1)=0 ⇒ m=0,m=1

作為一個0 ≠0

現在以同樣的方式等於 x 的係數M-1 從第二個總和

並等於 x 的係數m+k 歸零,

ak + 2(m+k+2)(m+k+1)-2ak(m+kn) = 0

我們可以把它寫成

ak + 2 = 2(m+kn)/(m+k+2)(m+k+1)k

如果 m=0

ak + 2 = 2(kn)/(k+2)(k+1)k

如果 m=1

ak + 2 = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2)k

對於這兩種情況,現在我們討論 k 的情況

當 $m=0 時,ak + 2= 2(kn)/ (k+2)(k+1)}k$

如果,$k=02 =-2 n/2 一個0=-na0$

$k=1, 一個3=2(1-n)/6a1 =-2(n-1)/3 ! 一個1$

如果$k=2,一個4 =2(2-n)/12a2 =2 (2-n)/12 (-na0)= 22 n(n-2)/4! 一個0$

到目前為止 m=0 我們有兩個條件,當 a1=0,那麼一個3=a5=a7=....=一個2r+1=0 並且當 a1 那麼不為零

按照這個把 a 的值0,a1,a2,a3,a45 我們有

並且對於 m=1 a1=0 通過將 k=0,1,2,3,..... 我們得到

ak + 2 = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2)ak

所以解決方案將是

所以完整的解決方案是

其中 A 和 B 是任意常數

厄米多項式

   Hermite 方程解的形式為 y(x)=Ay1(x)+通過2(x) 其中 y1(x) 和 y2(x) 是上面討論的級數項,

如果 n 是非負整數,則這些系列之一結束,如果 n 是偶數 y1 否則終止 y2 如果 n 是奇數,我們可以很容易地驗證對於 n=0,1,2,3,4…….. 這些多項式是

1,x,1-2x2, x-2/3 x3, 1-4 倍2+4/3x4, x-4/3x3+ 4/15 倍5

所以我們可以在這裡說 Hermite 方程的解是這些多項式的常數倍,並且包含 x 的最高冪的項的形式為 2nxn 用H表示n(x) 被稱為 厄米多項式

Hermite多項式的生成函數

Hermite多項式通常藉助生成函數的關係來定義

[n/2] 是小於或等於 n/2 的最大整數,因此它遵循 Hn(X) as

這表明 Hn(X) 是 x 上的 n 次多項式,並且

Hn(x) = 2nxn + πn-2 (X)

哪裡 πn-2 (x) 是 x 中 n-2 次多項式,對於 n 的偶值,它將是 x 的偶函數,對於 n 的奇值,它將是 x 的奇函數,所以

Hn(-x) = (-1)n Hn(X)

一些起始 Hermite 多項式是

H0(x) = 1

H1(x) = 2x

H2(x) = 4x2 - 2

H3(x) = 8x3-12

H4(x) = 16x4 -48倍2+ 12

H5(x) = 32x2 -160倍3+ 120x

用羅德里格公式生成 Hermite 多項式的函數

Hermite多項式也可以在羅德里格公式的幫助下使用生成函數來定義

由於生成函數的關係

  使用麥克勞林定理,我們有

or

通過把 z=xt 和

對於 t=0,所以 z=x 給出

這我們可以用另一種方​​式表示為

差異化

關於 t 給出

取極限 t 趨於零

現在關於 x 微分

取極限 t 趨於零

從這兩個表達式我們可以寫出

以同樣的方式我們可以寫

 將 t=0 微分 n 次,我們得到

從這些值我們可以寫

從這些我們可以得到值

Hermite多項式的例子           

  1. 求普通多項式

解決方案:使用 Hermite 多項式定義和我們有的關係

2.求普通多項式的Hermite多項式

解決方案:我們可以將給定的方程轉換為 Hermite 作為

並且從這個方程等於相同的冪係數

因此 Hermite 多項式將是

Hermite多項式的正交性| Hermite多項式的正交性質

Hermite 多項式的重要特徵是它的正交性,即

為了證明這種正交性,讓我們回憶一下

這是 Hermite 多項式的生成函數,我們知道

所以將這兩個方程相乘我們將得到

在無限範圍內進行乘法和積分

從那以後

so

在上面的表達式中使用這個值我們有

這使

現在使兩邊的係數相等

顯示了 Hermite 多項式的正交性質。

  Hermite多項式的正交性質的結果可以通過考慮遞推關係以另一種方式表示

Hermite多項式正交性的例子

1.求積分

解:利用厄米多項式的正交性

因為這裡的值是 m=3 和 n=2 所以

2. 評估積分

解:利用 Hermite 多項式的正交性,我們可以寫出

Hermite多項式的遞歸關係

Hermite多項式的值可以很容易地通過遞推關係找出

厄米多項式
Hermite多項式遞推關係

借助定義和屬性,可以輕鬆獲得這些關係。

證明:1。 我們知道 Hermite 方程

y”-2xy'+2ny = 0

和關係

通過對 x 進行部分微分,我們可以將其寫為

從這兩個方程

現在用 n-1 替換 n

通過等於 t 的係數n

所以所需的結果是

2. 以類似的方式對 t 等式進行部分微分

我們得到

n=0 將消失,所以通過把 e 的這個值

現在等於 t 的係數n

從而

3. 為了證明這個結果,我們將消除 Hn-1

所以我們得到

這樣我們就可以寫出結果

4. 為了證明這個結果,我們微分

我們得到了關係

替換值

並用 n+1 替換 n

這使

Hermite多項式的遞歸關係實例

1.表明

H2n(0) = (-1)n。 22n (1 / 2)n

解決方案:

為了顯示我們有的結果

H2n(x) =

在這裡取 x=0 我們得到

2. 證明

H'2n + 1(0) = (-1)n 22n + 1 (3 / 2)2

解決方案:

由於從遞推關係

H'n(x) = 2nHn-1(X)

這裡用 2n+1 替換 n 所以

H'2n-1(x) = 2(2n+1) H2n(X)

取 x=0

3. 求值

H2n + 1(0)

解決方案

既然我們知道

在這裡使用 x=0

H2n-1(0)= 0

4. 求H'的值2n(0)。

解決方案 :

我們有遞歸關係

H'n(x) = 2nHn-1(X)

這裡用 2n 替換 n

H'2n(x) = =2(2n)H2n-1(X)

把 x=0

H'2n(0) = (4n)H2n-1(0) = 4n*0=0

5.顯示如下結果

解決方案 :

使用遞推關係

H'n(x) = 2nHn-1 (X)

so

d3/dx3 {Hn(x)} = 23n(n-1)(n-2)Hn-3(X)

微分這 m 次

這使

6. 證明

Hn(-x) = (-1)n Hn(X)

解決方案 :

我們可以寫

從 t 的係數n 我們有

對於 -x

7. 計算積分並顯示

解決方案 :為了解決這個積分使用積分部分作為

現在積分符號下的微分與

關於 x

運用

H'n(x) = 2nHn-1 (X)

H'm(x) = 2mHM-1 (X)

我們有

從那以後

𝝳 n,m-1 =𝝳n+1, 米

所以積分的價值將是

結論:

應用中經常出現的具體多項式是Hermite多項式,所以這裡簡單討論了Hermite多項式的基本定義、生成函數、遞推關係和例子,如果你需要進一步閱讀,請繼續閱讀

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials

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