逆伽馬分佈:21 個重要事實

反伽馬分佈和伽馬分佈的矩生成函數

      繼伽馬分佈之後,我們將了解反伽馬分佈和矩生成函數的概念,通過遵循伽馬分佈的一些基本屬性來測量中心趨勢平均值,伽馬分佈的眾數和中位數。

伽瑪分佈特性

一些 伽馬分佈的重要性質 入伍如下

伽瑪分佈的概率密度函數為

or

伽瑪函數在哪裡

2.伽瑪分佈的累積分佈函數為

其中f(x)是上面給出的概率密度函數,特別是cdf是

分別或

E [X] =α*β

  • 伽馬分佈的矩生成函數M(t)為

or

  • pdf和cdf的曲線為
反伽馬分佈
  • 可以通過將伽馬分佈的概率密度函數的倒數作為倒數來定義反伽馬分佈
  • 獨立伽馬分佈的總和還是具有參數總和的伽馬分佈。

逆伽馬分佈| 正反伽瑪分佈

                如果在伽瑪分佈中的概率密度函數

or

我們取變量倒數或倒數,則概率密度函數為

因此,已知具有該概率密度函數的隨機變量是反伽馬隨機變量或反伽馬分佈或反伽馬分佈。

在任何參數中的上述概率密度函數,我們可以採用lambda或theta的形式,即作為伽馬分佈的倒數的概率密度函數是反伽馬分佈的概率密度函數。

逆伽馬分佈的累積分佈函數或cdf

                逆伽馬分佈的累積分佈函數是分佈函數

其中f(x)是反伽馬分佈的概率密度函數

逆伽馬分佈的均值和方差

  遵循期望和方差的通常定義,反伽馬分佈的均值和方差為

逆伽馬分佈證明的均值和方差

        使用概率密度函數獲得反伽馬分佈的均值和方差

和期望的定義,我們首先找到x的任何冪的期望為

在上面的積分中,我們使用密度函數為

現在對於大於XNUMX的α值和作為XNUMX的n

類似地,n = 2的值是大於2的alpha

使用這些期望將給我們方差的價值,因為

逆伽瑪分佈圖| 反伽瑪分佈圖

                逆伽馬分佈是伽馬分佈的倒數,因此在觀察伽馬分佈時,最好觀察具有概率密度函數為的逆伽馬分佈曲線的性質。

和累積分佈函數如下

反伽馬分佈
反伽瑪分佈圖

描述: 概率密度函數圖 和通過將 α 的值固定為 1 並改變 β 的值的累積分佈函數。

描述:通過將α的值固定為2並改變β的值來繪製概率密度函數和累積分佈函數的圖

描述:通過將α的值固定為3並改變β的值來繪製概率密度函數和累積分佈函數的圖。

描述:通過將β的值固定為1並改變α的值來繪製概率密度函數和累積分佈函數的圖。

描述:通過將β的值固定為2並改變α的值來繪製概率密度函數和累積分佈函數的圖

描述:通過將β的值固定為3並改變α的值來繪製概率密度函數和累積分佈函數的圖。

伽馬分佈的矩產生函數

在了解伽瑪分佈的矩產生函數的概念之前,讓我們回顧一下矩產生函數的一些概念

瞬間

    的那一刻 隨機變量 在期望的幫助下定義為

這稱為隨機變量X的第r矩,它是關於原點的矩,通常稱為原始矩。

     如果我們將隨機變量的第r矩取平均值μ作為

關於均值的這一矩稱為中心矩,並且期望將根據隨機變量的性質為

在中心矩中,如果我們將r的值放入,那麼我們將得到一些初始矩

如果我們在中心矩中採用二項式展開式,那麼我們可以很容易地獲得中心矩和原始矩之間的關係:

一些初始關係如下

瞬間產生功能

   我們可以藉助函數生成的矩,該函數稱為矩生成函數,定義為

該函數借助以下任意一種形式的指數函數展開來生成矩

使用泰勒形式作為

相對於t對此擴展函數求微分,得出不同的矩為

如果我們直接將導數取為

因為對於兩個離散

持續不斷

所以對於t = 0,我們將得到

同樣

as

和一般

此刻產生函數有兩個重要的關係

伽馬分佈的矩生成函數mgfγ分佈| 伽馬分佈的矩生成函數

現在對於伽瑪 分佈矩生成函數 pdf 的 M(t)

is

和PDF

瞬間生成函數是

伽馬分佈矩生成函數證明| mgf伽瑪分佈證明

    現在首先採取概率密度函數的形式為

並使用矩生成函數M(t)的定義

我們可以藉助矩生成函數求出伽馬分佈的均值和方差,該函數相對於t是該函數的兩倍,我們將得到

如果我們把t = 0,那麼第一個值將是

現在把這些期望的價值放在

交替為表格的pdf

此刻生成函數將是

並把t = 0求和將得到均值和方差如下

伽馬分佈的第二矩

   通過將矩生成函數微分兩次並將t = 0的值放在該函數的二階導數中,可以得到伽馬分佈的第二矩

伽馬分佈的第三矩

                通過將三次矩生成函數微分三次,然後將t = 0的值放在mgf的三階導數中,我們可以找到伽馬分佈的三階矩。

或直接整合為

 伽瑪分佈的sigma

   sigma或伽瑪分佈的標準偏差,我們可以通過以下類型的伽瑪分佈的方差平方根求出

or

對於任何定義的alpha,beta和lambda值。

伽馬分佈的特徵函數| 伽馬分佈特徵函數

      如果力矩生成函數中的變量t純粹是一個虛數,即t =iω,則該函數稱為伽馬分佈的特徵函數,表示為並表示為

至於任何隨機變量,特徵函數將是

因此,對於伽瑪分佈,遵循伽瑪分佈的pdf的特徵函數為

以下

該特徵函數還有另一種形式,如果

然後

伽馬分佈的總和| 指數分佈的總和

  要了解伽瑪分佈總和的結果,我們必須首先了解連續隨機變量的獨立隨機變量之和,為此,讓我們對連續隨機變量X和Y具有概率密度函數,然後對總和具有累積分佈函數的隨機變量將是

將積分的捲積與X和Y的概率密度函數進行微分,將得出隨機變量總和的概率密度函數,如下所示:

現在讓我們證明X和Y是否是具有各自密度函數的伽馬隨機變量,那麼總和也將是具有相同參數總和的伽馬分佈

考慮形式的概率密度函數

對於隨機變量X,以alpha為s;對於隨機變量Y,以alpha為t。

這裡C與a無關,現在的值將是

它們代表X和Y之和的概率密度函數,並且是Gamma分佈的,因此,Gamma分佈的總和也通過各個參數之和代表Gamma分佈。

伽瑪分佈模式

    為了找到伽瑪分佈的模式,讓我們考慮概率密度​​函數為

現在將這個pdf關於x進行區分,我們將得到區分為

對於x = 0或x =(α-1)/λ它將為零

所以這些只是 臨界點 如果 alpha 大於或等於零,我們的一階導數將為零,則 x=0 將不是眾數,因為這使 pdf 為零,所以眾數將為 (α -1)/λ

對於嚴格小於XNUMX的alpha,當x從零增加到無窮大時,導數從無窮大減少到零,因此這是不可能的,因此伽馬分佈的模式為

伽馬分佈的中位數

伽馬分佈的中值可以藉助反伽馬分佈找到

or

提供

這使

伽瑪分佈形狀

     換句話說,當形狀參數為一個伽瑪分佈等於指數分佈時,伽瑪分佈會根據形狀參數採用不同的形狀,但是當我們改變形狀參數時,伽瑪分佈曲線的偏斜度會隨著形狀參數的增加而減小,換句話說伽瑪分佈曲線的形狀根據標準偏差而變化。

伽瑪分佈的偏度

    可以通過觀察該分佈的概率密度函數和偏度係數來觀察任何分佈的偏度

對於伽瑪分佈,我們有

so

這表明僅當alpha增大到無窮大時,偏斜度才取決於alpha,而α變為零時,伽馬分佈密度曲線將正偏斜,這可以在密度圖中觀察到。

廣義伽馬分佈| γ分佈中的形狀和比例參數| 三參數伽瑪分佈| 多元伽瑪分佈

其中γ,μ和β分別是形狀,位置和比例參數,通過為這些參數分配特定的值,我們可以得到兩個參數的伽馬分佈,特別是如果我們將μ= 0,β= 1,則將得到標準的伽馬分佈,如下所示:

使用這3個參數的伽馬分佈概率密度函數,我們可以分別通過遵循那裡的定義來找到期望值和方差。

結論:

伽馬分佈的倒數的概念是 反伽馬分佈 如果需要進一步閱讀,請閱讀建議的書籍和鏈接,以與伽瑪分佈進行比較,並藉助矩生成功能來測量伽瑪分佈的集中趨勢。 有關數學的更多信息,請訪問我們的 數學頁面.

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution

謝爾頓·羅斯(Sheldon Ross)開設的第一門概率課程

紹姆的概率論和統計論綱

ROHATGI和SALEH對概率和統計的介紹

回到頁首