聯合分佈的隨機變量:11 個重要事實

內容

聯合分佈的隨機變量

     共同分佈的隨機變量是一個隨機變量,且具有多個概率聯合分佈於這些隨機變量,換句話說,在實驗中,具有共同概率的不同結果稱為聯合分佈隨機變量或聯合分佈,這種情況會發生經常在解決機會問題時。

聯合分配功能| 聯合累積概率分佈函數| 聯合概率質量函數| 聯合概率密度函數

    對於隨機變量X和Y,分佈函數或聯合累積分佈函數為

其中聯合概率的性質取決於離散和連續的隨機變量X和Y的性質,並且可以使用此聯合累積分佈函數獲得X和Y的各個分佈函數

對於Y同樣

當考慮聯合分配時,X和Y的這些單獨的分佈函數稱為邊際分佈函數。 這些分佈對於獲得諸如

此外,隨機變量 X 和 Y 的聯合概率質量函數定義為

X 和 Y 的單獨概率質量或密度函數可以在這樣的聯合概率質量或密度函數的幫助下獲得,例如 離散隨機變量 as

就連續隨機變量而言,聯合概率密度函數為

其中C是任何二維平面,連續隨機變量的聯合分佈函數為

可以通過微分獲得該分佈函數的概率密度函數

和聯合概率密度函數的邊際概率

as

關於隨機變量X和Y

聯合發行的例子

  1. 隨機變量X和Y的聯合概率表示一組書籍中的數學和統計書籍的數量,如果隨機抽取3本書,則該書籍包含4本書,5冊統計學和3本書
  • 找到關節 概率質量函數 對於有 15% 沒有孩子、20% 有 1 個孩子、35% 有 2 個孩子和 30% 3 個孩子的家庭樣本,如果我們從這個樣本中隨機選擇孩子是男孩還是女孩的家庭?

通過使用以下定義,我們將發現聯合概率:

聯合分佈的隨機變量
聯合分佈的隨機變量:示例

我們可以以表格形式說明如下

聯合分佈的隨機變量
聯合分佈的隨機變量:聯合分佈的示例
  • 計算概率

如果對於隨機變量X和Y,聯合概率密度函數由下式給出:

借助連續隨機變量聯合概率的定義

和給定的關節密度函數,給定範圍的第一概率將是

以類似的方式,概率

最後

  • 如果隨機變量X和Y的聯合概率密度函數為,則找到它們的商X / Y的聯合密度函數。

要找到函數X / Y的概率密度函數,我們首先找到聯合分佈函數,然後將獲得的結果進行區分,

因此,通過定義聯合分佈函數和給定的概率密度函數,我們得到

因此,通過將分佈函數相對於a進行微分,我們將得到密度函數為

其中a在零到無窮大之間。

獨立隨機變量和聯合分佈

     在 聯合分配 如果滿足以下條件,則兩個隨機變量X和Y的概率被認為是獨立的

其中A和B是實數集。 就事件而言,我們知道獨立隨機變量是事件獨立的隨機變量。

因此對於a和b的任何值

自變量X和Y的聯合分佈或累積分佈函數為

如果我們考慮離散隨機變量X和Y,那麼

同樣對於連續隨機變量

獨立聯合分配的示例

  1. 如果在醫院的特定日期,進入患者的泊松分佈具有參數λ,男性患者的概率為p,女性患者的概率為(1-p),則表明進入醫院的男性患者和女性患者的數量參數為λp和λ(1-p)的獨立泊松隨機變量是多少?

通過隨機變量X和Y考慮男性和女性患者的數量,然後

因為X + Y是進入醫院的病人總數,而且是泊松分佈,所以

因為男性患者的概率為p而女性患者的概率為(1-p),所以從總固定數目來看,確切的是男性還是女性的二項式概率為

使用這兩個值,我們將獲得以上聯合概率為

因此,男性和女性患者的概率將是

這表明它們都是參數為λp和λ(1-p)的泊松隨機變量。

2.找到一個人必須在會議上等待一個客戶的時間超過十分鐘的可能性,就像每個客戶和那個人在均勻分配後的中午12點到下午1點之間到達一樣。

考慮隨機變量X和Y表示該人和客戶在12到1之間的時間,因此X和Y的共同概率為

計算

其中X,Y和Z是區間(0,1)上的均勻隨機變量。

這裡的概率將是

對於均勻分佈,密度函數

在給定範圍內

聯合分佈的獨立隨機變量之和

  具有概率密度函數作為連續隨機變量的自變量X和Y的總和,累積分佈函數為

通過將這個累積分佈函數微分為這些獨立和的概率密度函數

通過遵循這兩個結果,我們將看到一些連續隨機變量及其和為自變量

獨立統一隨機變量之和

   為了 隨機變量 X 和 Y 在區間 (0,1) 上均勻分佈,這兩個自變量的概率密度函數為

所以對於X + Y,我們有

對於任何值,a介於零和一之間

如果我們將a限制在一到兩個之間,它將是

這給出了三角形的密度函數

如果我們將n個獨立的統一隨機變量1推廣到n,則它們的分佈函數

通過數學歸納將是

獨立Gamma隨機變量的總和

    如果我們有兩個獨立的伽瑪隨機變量,它們具有通常的密度函數

然後按照密度求和獨立伽瑪隨機變量的總和

這顯示了獨立於伽瑪隨機變量之和的密度函數

獨立指數隨機變量的總和

    以與伽瑪隨機變量相似的方式,我們可以通過僅專門分配伽瑪隨機變量的值來獲得獨立指數隨機變量的和,從而獲得密度函數和分佈函數。

獨立正態隨機變量的總和| 獨立正態分佈之和

                如果我們有 n 個獨立的正態隨機變量 Xi ,i=1,2,3,4….n 具有各自的平均值 μi 和 方差 σ2i 然後它們的總和 也是正態隨機變量,均值為 Σμi,方差為 Σσ2i

    我們首先顯示參數為0和σ的兩個正態隨機變量X的正態分佈獨立和2 和Y的參數分別為0和1,讓我們找到X和Y的和的概率密度函數,

在聯合分佈密度函數中

借助正態分佈密度函數的定義

因此密度函數將是

這不過是 a 的密度函數 正態分佈 均值 0 和方差 (1+σ2) 遵循相同的論點,我們可以說

具有通常的均值和方差。 如果我們展開並觀察總和呈正態分佈,則均值是各個均值的總和,方差是各個方差的總和,

因此,以同樣的方式,第n個和將是均值為Σμ的正態分佈隨機變量i  和方差Σσ2i

獨立泊松隨機變量之和

如果我們有兩個獨立的帶有參數λ的泊松隨機變量X和Y1 和λ2 那麼它們的總和X + Y也是泊松隨機變量或泊松分佈

因為X和Y是泊松分佈,我們可以將它們的和寫為不相交事件的並集,所以

通過使用獨立隨機變量的概率

因此我們得到的總和X + Y也是泊松分佈,均值λ12

獨立二項式隨機變量的和

                如果我們有兩個具有參數(n,p)和(m,p)的獨立二項式隨機變量X和Y,則它們的和X + Y也是二項式隨機變量或具有參數(n + m,p)的二項式分佈

讓我們用二項式定義的總和的概率為

這使

因此,總和X + Y也按參數(n + m,p)二項式分佈。

結論:

討論了聯合分佈的隨機變量的概念,這種情況在一種情況下給出了多個變量的相對分佈,此外,還討論了借助聯合分佈的獨立隨機變量的基本概念,並給出了具有示例分佈的獨立變量之和。它們的參數,如果您需要進一步閱讀,請閱讀上述書籍。 有關數學的更多帖子,請 點擊這裡。

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