關於數學期望和隨機變量的 11 個事實

數學期望和隨機變量    

     數學期望在概率論中起著非常重要的作用,數學期望的基本定義和基本性質我們在前幾篇文章中已經討論過了,現在在討論了各種分佈和分佈類型之後,在下面的文章中我們將更加熟悉一些數學期望的高級性質。

隨機變量總和的期望| 隨機變量函數的期望| 聯合概率分佈的期望

     我們知道離散性質的隨機變量的數學期望是

對於連續的一個是

現在對於隨機變量 X 和 Y 如果離散則與關節 概率質量函數 p(x,y)

隨機變量 X 和 Y 的函數期望為

如果連續,那麼對於聯合概率密度函數 f(x, y),隨機變量 X 和 Y 的函數期望將是

如果 g 是以連續形式將這兩個隨機變量相加

如果對於隨機變量 X 和 Y 我們有

X>Y

那麼期望也

Covid-19 醫院均勻分佈在長度為 L 的道路上的 X 點,載有患者氧氣的車輛位於 Y 點,該位置也均勻分佈在道路上,求 Covid-19 醫院之間的預期距離和氧氣運輸車,如果他們是獨立的。

解決方案:

要找到 X 和 Y 之間的預期距離,我們必須計算 E { | XY | }

現在 X 和 Y 的聯合密度函數將是

通過遵循這一點,我們有

現在積分的價值將是

因此,這兩點之間的預期距離將是

樣本均值的期望

  作為隨機變量序列X的樣本均值1, X2, ………, Xn 分佈函數 F 和每個期望值 μ 是

所以這個樣本均值的期望將是

這表明樣本均值的期望值也是 μ。

布爾不等式

                布爾的 不等式可以藉助性質得到 的期望,假設隨機變量 X 定義為

哪裡

這裡Ai 是隨機事件,這意味著隨機變量 X 代表事件 A 的發生次數i 和另一個隨機變量 Y 為

明確地

X>=Y

E[X] >= E[Y]

也是

現在如果我們取隨機變量 X 和 Y 的值,這些期望將是

將這些期望代入上述不等式,我們將得到布爾不等式為

二項式隨機變量的期望| 二項式隨機變量的均值

  我們知道的 二項式隨機變量 是隨機變量,它顯示在 n 個獨立試驗中成功的次數,成功概率為 p,失敗概率為 q=1-p,所以如果

X=X1 + X.2+ …….+ Xn

地点:

這裡這些Xi伯努利 並且期望將是

所以 X 的期望將是

負二項式隨機變量的期望| 負二項式隨機變量的均值

  設一個隨機變量 X 表示收集 r 次成功所需的試驗次數,則這樣的隨機變量稱為負二項式隨機變量,它可以表示為

這裡每個 Xi 表示在第 (i-1) 次成功後獲得 i 次成功所需的試驗次數。

由於這些 X 中的每一個i 表示幾何隨機變量,我們知道幾何隨機變量的期望是

so

這是 期望 負二項式隨機變量。

超幾何隨機變量的期望| 超幾何隨機變量的均值

我們將藉助一個簡單的現實生活示例獲得超幾何隨機變量的期望或均值,如果從包含 N 本書的書架中隨機選擇 n 本書,其中 m 是數學書籍,然後找到預期數量數學書籍讓X表示選擇的數學書籍的數量,那麼我們可以將X寫為

哪裡

so

=n/N

這使

這是這種超幾何隨機變量的平均值。

預期匹配數

   這是一個非常流行的與期望相關的問題,假設在一個房間裡有 N 個人把他們的帽子扔在房間中間,然後所有的帽子混合在一起,然後每個人隨機選擇一頂帽子,然後是預期的人數誰選擇了自己的帽子,我們可以通過讓 X 為匹配的數量來獲得

地点:

因為每個人都有平等的機會從 N 頂帽子中選擇任何一頂帽子,那麼

so

這意味著平均只有一個人選擇自己的帽子。

事件聯合的概率

     讓我們在期望的幫助下獲得事件並集的概率,所以對於事件 Ai

有了這個,我們採取

所以對此的期望將是

並使用期望屬性擴展為

因為我們有

數學期望
數學期望:事件聯合的概率

so

這意味著聯合的概率為

使用概率方法的期望界限

    假設 S 是一個有限集,f 是 S 的元素上的函數,並且

在這裡,我們可以通過 f(s) 的期望獲得這個 m 的下限,其中“s”是 S 的任何隨機元素,我們可以計算其期望

這裡我們得到期望作為最大值的下限

最大-最小身份

 最大 最小身份是數字集合的最大值到這些數字的子集的最小值,對於任何數字 xi

為了證明這一點,讓我們限制 xi 在區間 [0,1] 內,假設區間 (0,1) 上的均勻隨機變量 U 和事件 Ai 因為統一變量 U 小於 xi 那是

由於上述事件中至少有一個發生,因為 U 小於 XNUMX,因此 x 的值i

顯然我們知道

如果 U 小於所有變量並且所有事件都會發生

概率給出

我們有聯合概率的結果為

遵循這個包含排除公式的概率

考慮

這給

意思是

  • 因此我們可以把它寫成

取期望值,我們可以找到最大值和部分最小值的期望值作為

結論:

期望在各種分佈和期望與某些期望的相關性方面 概率論 概念是本文的重點,它展示了使用期望作為一種工具來獲取不同類型隨機變量的期望值,如果您需要進一步閱讀,請閱讀以下書籍。

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