公式“點部分或比率”的基本示例
案例一
習題 21：求點 P(x, y) 的坐標，該點以 1,1:4,1 的比例將連接兩點 (1) 和 (2) 的線段進行內部劃分。
解決方案： 我們已經知道，
如果一個點 P(x, y) 分割線段AB 內部 在比例 男：男，其中坐標 A 及 B 是 (x1,y1) 及 (x2,y2) 分別。 那麼P的坐標是
及
（見公式圖）
使用這個公式我們可以說， (x1,y1) ≌(1,1) 即 x1= 1， y1=1;
(x2,y2)≌(4,1) 即 x2= 4， y2=1
及
男：女 ≌ 1:2 即 m=1,n=2
因此，
x =
( 將 m & n 的值放入
或者， x =1*4+2*1/3 ( 把值 x1 & x2 太 )
或者， x = 4 2 + / 3
或者， x = 6 * 3
Or, X = 2
同樣我們得到，
y =
( 將 m & n 的值放入 y =
或者， y =(1*1+2*1)/3 ( 把值 y1 & y2 太 )
或者， y = 1*1+2/3
或者， y = 3/3
或者， y = 1
因此， x=2 和 y=1 是點 P 的坐標，即 (2,1)。 (答)
下面給出了更多已回答的問題，以便使用上述問題 21 中描述的程序進一步練習：-
22問題： 找出以 0,5:0,0 的比例將連接兩點 (2) 和 (3) 的線段內部劃分的點的坐標。
答。 (0,2)
23問題： 找出以 1,1:4,1 的比例將連接點 (2) 和 (1) 的線段內部劃分的點。
答。 (3,1)
24問題： 找到位於連接兩點 (3,5,) 和 (3,-5,) 的線段上的點以 1:1 的比例除以它
答。 (3,0)
25問題： 求以 4,1:4,1 的比例將連接兩點 (-3) 和 (5) 的線段內部劃分的點的坐標
答。 （1,1）
26問題： 找到在比率中將連接兩點 (-10,2) 和 (10,2) 的線段內部劃分的點 1.5 ：2.5.
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案例二
問題一： 找出點 Q(x,y) 的坐標，該點以 2,1:6,1 的比例從外部劃分連接兩點 (3) 和 (1) 的線段。
解決方案： 我們已經知道，
如果一個點 Q(x,y) 分割線段AB 外部 在比例 男：男，哪裡 坐標 of A 及 B 是 (x1,y1) 及 (x2,y2) 分別，那麼點P的坐標是
及
（見公式圖）
使用這個公式我們可以說， (x1,y1) ≌(2,1) 即 x1= 2， y1=1;
(x2,y2)≌(6,1) 即 x2= 6， y2=1 和
男：女 ≌ 3:1 即 m=3,n=1
因此，
x =
( 將 m & n 的值放入 x =
或者， x =(3*6)-(1*2)/2 ( 把值 x1 & x2 太 )
或者， x = 18-2/2
或者， x = 16 / 2
或者， x = 8
同樣我們得到，
y =
( 將 m & n 的值放入 y =
或者， y =
( 把值 y1 & y2 太 )
或者， y = 3-1/2
或者， y = 2/2
或者， y = 1
因此， x=8 和 y=1 是點 Q 的坐標，即 （8,1）. (答)
下面給出了更多已回答的問題，以便使用上述問題 27 中描述的程序進一步練習：-
28問題： 找出在比率中將連接兩點 (2,2) 和 (4,2) 的線段進行外部劃分的點 3 ：1.
答。 (5,2)
29問題： 找出在比率中將連接兩點 (0,2) 和 (0,5) 的線段進行外部劃分的點 5：2.
答。 (0,7)
30問題： 求出在比率中連接兩點 (-3,-2) 和 (3,-2) 的線段的延長部分上的點 2 ：1.
答。 (9,-2)
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案例三
問題一： 求連接兩點 (-1,2) 和 (1,2) 的線段的中點坐標。
解決方案： 我們已經知道，
如果一個點 R(x,y) 是連接線段的中點 斧頭1,y1) 及 乙(x2,y2）。然後坐標 R 是
及
（見公式圖）
Case-III 是 case-I 的形式，而 m=1 和 n=1
使用這個公式我們可以說， (x1,y1) ≌(-1,2) 即 x1= -1， y1=2和
(x2,y2)≌(1,2) 即 x2= 1， y2=2
因此，
x =
( 把值 x1 & x2 in x =
或者， x = 0/2
或者， x = 0
同樣我們得到，
y =2 2 + / 2 ( 把值 y1 & y2 in y =
或者， y = 4/2
或者， y = 2
因此， x=0 和 y=2 是中點 R 的坐標，即 (0,2)。 (答)
下面給出了更多已回答的問題，以便使用上述問題 31 中描述的程序進一步練習：-
32問題： 求連接兩點 (-1,-3) 和 (1,-4) 的直線的中點坐標。
答。 (0,3.5)
33問題： 求分割連接兩點 (-5,-7) 和 (5,7) 的線段的中點坐標。
答。 (0,0)
34問題： 求分割連接兩點 (10,-5) 和 (-7,2) 的線段的中點坐標。
答。 (1.5, -1.5)
35問題： 求分割連接兩點 (3,√2) 和 (1,3) 的線段的中點坐標√2）。
答。 (2,2√2)
36問題： 求分割連接兩點 (2+3i,5) 和 (2-3i,-5) 的線段的中點坐標。
答。 (2,0)
注意：如何檢查一個點是否以 m:n 的比率在內部或外部劃分一條線（長度 = d 個單位）
如果 ( m×d)/(m+n) + ( n×d)/(m+n) = d ，則內除 及
如果 ( m×d)/(m+n) – ( n×d)/(m+n) = d ，則外除法
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公式“三角形面積”的基本例子
案例一
問題一： 有兩個頂點的三角形的面積是多少 甲(1,2) 及 B（5,3） 及 高度相對於 AB be 3 單位 在坐標平面 ?
解決方案： 我們已經知道，
If “H” 是高度和 “ b” 是三角形的底，那麼 三角形的面積是 = ½ × b × h
（見公式圖）
使用這個公式我們可以說，
h = 3 個單位和 b = √ [(x2-x1)2+（y2-y1)2 ] IE √ [(5-1)2+(3-2)2 ]
或者， b = √ [(4)2+（1）2 ]
或者， b = √ [(16+1 ]
或者， b = √ 17 個單位
因此，三角形的所需面積為 = ½ × b × h 即
= ½ × (√ 17 ) × 3 單位
= 3⁄2 × (√ 17 ) 單位 (Ans.)
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案例二
問題一：有頂點的三角形的面積是多少 A(1,2), B(5,3) 和 C(3,5) 在坐標平面 ?
解決方案： 我們已經知道，
If 斧頭1,y1） 乙(x2,y2) 及 C(x3,y3) 是三角形的頂點，
三角形的面積是 =|½[x1 (y2 - y3) + x2 (y3 - y2) + x3 (y2-Y1)]|
（見公式圖）
使用這個公式，我們有
(x1,y1) ≌(1,2) 即 x1= 1， y1=2;
(x2,y2) ≌(5,3) 即 x2= 5， y2=3 和
(x3,y3) ≌(3,5) 即 x3= 3， y3=5
因此，三角形的面積是 = |½[x1 (y2 - y3) + x2 (y3 - y1) + x3 (y1-y2)]| 即
= |½[1 (3-5) + 5 (5-3) + 3 (3-2)]| 平方單位
= |½[ 1x (-2) + (5×2) + (3×1)]| 平方單位
= |½[-2 + 10 + 3]| 平方單位
= |½ x 11| 平方單位
= 11⁄2 平方單位
= 5.5 平方單位 （答）
下面給出了更多回答的問題，以便使用上述問題中描述的程序進一步練習：-
39問題： 求頂點為 (1,1)、(-1,2) 和 (3,2) 的三角形的面積。
答。 2 平方單位
40問題： 求頂點為 (3,0)、(0,6) 和 (6,9) 的三角形的面積。
答。 22.5 平方單位
41問題： 求頂點為 (-1,-2)、(0,4) 和 (1,-3) 的三角形的面積。
答。 6.5 平方單位
42問題： 求頂點為 (-5,0,)、(0,5) 和 (0,-5) 的三角形的面積。 答。 25 平方單位
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