點截面或比率公式:41 個關鍵解決方案

公式“點部分或比率”的基本示例

案例一

習題 21:求點 P(x, y) 的坐標,該點以 1,1:4,1 的比例將連接兩點 (1) 和 (2) 的線段進行內部劃分。

解決方案:   我們已經知道,

如果一個點 P(x, y) 分割線段AB 內部 在比例 男:男,其中坐標 AB(x1,y1)(x2,y2) 分別。 那麼P的坐標是 

(見公式圖)

使用這個公式我們可以說, (x1,y1) ≌(1,1) 即   x1= 1, y1=1;

(x2,y2)≌(4,1) 即   x2= 4, y2=1   

男:女  ≌ 1:2 即   m=1,n=2

圖示

因此,       

x =

( 將 m & n 的值放入   

或者, x =1*4+2*1/3 ( 把值 x1 &  x2)

或者, x = 4 2 + / 3

或者, x = 6 * 3

 Or, X = 2

同樣我們得到,  

y =

( 將 m & n 的值放入     y =

或者, y =(1*1+2*1)/3 ( 把值 y1 &  y2 )

或者, y = 1*1+2/3

或者, y =  3/3

或者, y = 1

 因此, x=2 和 y=1 是點 P 的坐標,即 (2,1)。   (答)

下面給出了更多已回答的問題,以便使用上述問題 21 中描述的程序進一步練習:-

22問題: 找出以 0,5:0,0 的比例將連接兩點 (2) 和 (3) 的線段內部劃分的點的坐標。

                     答。 (0,2)

23問題: 找出以 1,1:4,1 的比例將連接點 (2) 和 (1) 的線段內部劃分的點。

答。 (3,1)

24問題: 找到位於連接兩點 (3,5,) 和 (3,-5,) 的線段上的點以 1:1 的比例除以它

答。 (3,0)

25問題: 求以 4,1:4,1 的比例將連接兩點 (-3) 和 (5) 的線段內部劃分的點的坐標

答。 (1,1)

26問題: 找到在比率中將連接兩點 (-10,2) 和 (10,2) 的線段內部劃分的點 1.5 :2.5.

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案例二

問題一:   找出點 Q(x,y) 的坐標,該點以 2,1:6,1 的比例從外部劃分連接兩點 (3) 和 (1) 的線段。

解決方案:  我們已經知道,

如果一個點 Q(x,y) 分割線段AB 外部 在比例 男:男,哪裡 坐標 of AB(x1,y1)(x2,y2) 分別,那麼點P的坐標是 

(見公式圖)

使用這個公式我們可以說,  (x1,y1) ≌(2,1) 即  x1= 2, y1=1;

                                                    (x2,y2)≌(6,1) 即   x2= 6, y2=1 和   

                                                    男:女  ≌ 3:1 即    m=3,n=1   

點截面
圖示

因此, 

x =

( 將 m & n 的值放入     x  =

或者, x =(3*6)-(1*2)/2 ( 把值 x1 &  x2 )

或者, x18-2/2

或者, x  = 16 / 2

或者, x = 8

同樣我們得到,  

y =

( 將 m & n 的值放入     y =

或者, y =

( 把值 y1 &  y2 )

或者, y = 3-1/2

或者, y =  2/2

或者, y = 1

 因此, x=8 和 y=1 是點 Q 的坐標,即 (8,1).   (答)

下面給出了更多已回答的問題,以便使用上述問題 27 中描述的程序進一步練習:-

28問題: 找出在比率中將連接兩點 (2,2) 和 (4,2) 的線段進行外部劃分的點 3 :1.

答。 (5,2)

29問題: 找出在比率中將連接兩點 (0,2) 和 (0,5) 的線段進行外部劃分的點 5:2.

答。 (0,7)

30問題: 求出在比率中連接兩點 (-3,-2) 和 (3,-2) 的線段的延長部分上的點 2 :1.

答。 (9,-2)

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案例三

問題一:  求連接兩點 (-1,2) 和 (1,2) 的線段的中點坐標。

解決方案:   我們已經知道,

如果一個點 R(x,y) 是連接線段的中點 斧頭1,y1)乙(x2,y2)。然後坐標 R

(見公式圖)

Case-III 是 case-I 的形式,而 m=1 和 n=1

使用這個公式我們可以說,  (x1,y1) ≌(-1,2) 即  x1= -1, y1=2和

                                                    (x2,y2)≌(1,2) 即   x2= 1, y2=2

圖示

因此,

x =

( 把值 x1 &  x2  in x =

或者, x  = 0/2

或者, x = 0

同樣我們得到, 

y =2 2 + / 2 ( 把值 y1 &  y2  in y =

或者, y 4/2

或者, y = 2

因此, x=0 和 y=2 是中點 R 的坐標,即 (0,2)。   (答)

下面給出了更多已回答的問題,以便使用上述問題 31 中描述的程序進一步練習:-

32問題: 求連接兩點 (-1,-3) 和 (1,-4) 的直線的中點坐標。

答。 (0,3.5)

33問題: 求分割連接兩點 (-5,-7) 和 (5,7) 的線段的中點坐標。

答。 (0,0)

34問題: 求分割連接兩點 (10,-5) 和 (-7,2) 的線段的中點坐標。

答。 (1.5, -1.5)

35問題: 求分割連接兩點 (3,√2) 和 (1,3) 的線段的中點坐標2)。

答。 (2,2√2)

36問題: 求分割連接兩點 (2+3i,5) 和 (2-3i,-5) 的線段的中點坐標。

答。 (2,0)

注意:如何檢查一個點是否以 m:n 的比率在內部或外部劃分一條線(長度 = d 個單位)

如果 ( m×d)/(m+n) + ( n×d)/(m+n) = d ,則內除

如果 ( m×d)/(m+n) – ( n×d)/(m+n) = d ,則外除法

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公式“三角形面積”的基本例子

案例一 

問題一: 有兩個頂點的三角形的面積是多少 甲(1,2) B(5,3) 高度相對於 AB be 3 單位 在坐標平面 ?

 解決方案:   我們已經知道,

If “H” 是高度和 “ b” 是三角形的底,那麼  三角形的面積是 = ½ × b × h

(見公式圖)

圖示

使用這個公式我們可以說, 

 h = 3 個單位和 b = √ [(x2-x1)2+(y2-y1)2 ] IE  √ [(5-1)2+(3-2)2 ]

                    或者, b = √ [(4)2+(1)2 ]

                    或者, b = √ [(16+1 ]

                    或者,  b = √ 17 個單位

因此,三角形的所需面積為   = ½ × b × h 即

= ½ × (√ 17 ) × 3 單位

= 3⁄2 × (√ 17 ) 單位 (Ans.)

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案例二

問題一:有頂點的三角形的面積是多少 A(1,2), B(5,3) 和 C(3,5) 在坐標平面 ?

 解決方案:   我們已經知道,

If  斧頭1,y1 乙(x2,y2) C(x3,y3) 是三角形的頂點,

三角形的面積是  =|½[x1 (y2 -  y3) + x2 (y3 -  y2) + x3 (y2-Y1)]|

(見公式圖)

使用這個公式,我們有 

                                              (x1,y1) ≌(1,2) 即   x1= 1, y1=2;

                                              (x2,y2) ≌(5,3) 即   x2= 5, y2=3 和

                                              (x3,y3) ≌(3,5) 即    x3= 3, y3=5

圖示

因此,三角形的面積是 = |½[x1 (y2 -  y3) + x2 (y3 -  y1) + x3 (y1-y2)]| 即 

= |½[1 (3-5) + 5 (5-3) + 3 (3-2)]|  平方單位 

= |½[ 1x (-2) + (5×2) + (3×1)]|    平方單位

= |½[-2 + 10 + 3]|    平方單位

= x 11|     平方單位

= 11⁄2     平方單位

= 5.5      平方單位         (答)

下面給出了更多回答的問題,以便使用上述問題中描述的程序進一步練習:-

39問題: 求頂點為 (1,1)、(-1,2) 和 (3,2) 的三角形的面積。

答。 2 平方單位

40問題: 求頂點為 (3,0)、(0,6) 和 (6,9) 的三角形的面積。

答。 22.5 平方單位

41問題: 求頂點為 (-1,-2)、(0,4) 和 (1,-3) 的三角形的面積。

答。 6.5 平方單位

42問題: 求頂點為 (-5,0,)、(0,5) 和 (0,-5) 的三角形的面積。                                 答。 25 平方單位

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